derivatives and derivative dimensions

Contoh Besaran Turunan dan Satuannya 

    

besaran turunan merupakan besaran yang diturunkan atau dijabarkan dari besaran pokok. :

1. luas (L) = m²

2. volume (V) = m³

3. kecepatan (v) = m/s

4. kelajuan (v) = m/s

5. percepatan (a) = m/s²

6. massa jenis (ρ) = kg/m³

7. gaya (F) = N = kgm/s²

8. Energi potensial (E_p) = J = kgm²/s²

9. energi kinetik (E_k) = J = kgm²/s²

10 gaya berat (w) = N = kgm/s²

11. gaya coulomb (F_c) = N = kgm/s²

12. impuls (I) = Ns

13. ggl baterai (ε) = Volt

14. momentum (p) = Kgm/s

15. usaha (W) = Nm = kgm²/s²

16. daya (P) = watt = J/s = kgm²/s³

17. tekanan (P) = Pa = N/m²

18. tekanan hidrostatis (P_hid) = Pa = N/m²

19. frekuensi (f) = 1/s = Hz

20. muatan listrik (Q) = C

21. hambatan listrik (R) = Ω

22. tegangan listrik (V) = volt

23. kalor laten (L) = J/kg

24. momen kopel (M) = Nm

25. momentum sudut (L) = kg.m²/s

26. kuat medan listrik (E) = N/C

27. kekuatan lensa (P) = 1/m = dioptri

28. kalor (Q) = J = kgm²/s²

29. kapasitas kalor (C) = (J/K

30. kalor jenis (c) = J/kgK

31. hambatan jenis kawat penghantar (ρ) = Ω.m

32. cepat rambat cahaya (c) = m/s

33. gaya sentripetal (F_s) = N

34. kecepatan sudut (ω) = rad/s

35. percepatan sudut (α) = rad/s²

36. percepatan gravitasi (g) = m/s²

37. tegangan atau stres (σ) = N/m²

38. Modulus elastis (E) = N/m²

39. modulus Young (Y) = N/m²

40. konstanta pegas (k) = N/m

41. tetapan Gravitasi bumi (G) = N.m²/kg²

42. momen gaya (τ) = N.m

43. momen inersia (I) = Kg.m²

44. debit aliran (Q) = m³/s

45. koefisisen viskositas (η) = N.s/m²

46. induktansi diri (L) = Hendry = H

47. intensitas bunyi (I) = watt/m²

48. Medan listrik (E) = (N/C)

49. Fluks medan listrik (Φ_E) = Nm²/C = Weber (Wb)

50. kapasitas kapasitor (C) = farad = C/V

51. Kuat Medan magnet (B) = tesla = Wb/m²

52. konduktivitas listrik bahan penghantar (σ) = Ω/m

53. resistivitas listrik bahan penghantar (ρ) = Ω.m

54. koefisien konveksi (h) = W/m²K

55. laju kalor konveksi (I) = watt = J/s

56. koefisien konduktivitas termal (k) = W/m.K  

Dimensi adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol besaran pokok atau bisa dikatak dimensi adalah suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Apa pun jenis satuan besaran yang digunakan tidak memengaruhi dimensi besaran tersebut, misalnya satuan panjang dapat dinyatakan dalam m, cm, km, atau ft, keempat satuan itu mempunyai dimensi yang sama, yaitu L.
Di dalam mekanika, besaran pokok panjang, massa, dan waktu merupakan besaran yang berdiri bebas satu sama lain, sehingga dapat berperan sebagai dimensi. Dimensi besaran panjang dinyatakan dalam L, besaran massa dalam M, dan besaran waktu dalam T. Persamaan yang dibentuk oleh besaran-besaran pokok tersebut haruslah konsisten secara dimensional, yaitu kedua dimensi pada kedua ruas harus sama. Dimensi suatu besaran yang dinyatakan dengan lambang huruf tertentu, biasanya diberi tanda [ ].
Untuk menentukan dimensi besaran turunan maka kita harus mengetahui dimensi besaran pokok.

No	Besaran	Dimensi
1	Panjang	[L]
2	Massa	[M]
3	Waktu	[T]
4	Suhu
5	Kuat Arus	[I]
6	Intensitas cahaya	[J]
7	Jumlah zat	[N]

Langkah-langkah menentukan dimensi suatu besaran turunan adalah:
1. Menuliskan rumus besaran turunan
2. Menuliskan satuan besaran
3. Menentukan satuan besaran  

Ingat, jika suatu bearan memiliki satuan yang sama pasti dimensinya juga sama. Jadi dimensi, usaha, kerja, energi, energi kinetik, energi potensial, energi mekanik ataupun energi yang lain juga sama. Juga, misalnya tekanan dengan tekanan hidrostatis, gaya dengan gaya berat ataupun gaya archimedes. 

Turunan Lengkap  

  Matematika merupakan ilmu yang sangat luas juga menyenangkan, sebelumnya telah kita bahas mengenai frekuensi harapan dan peluang komplemen suatu kejadian yang merupakan sub bahasan dari topik peluang. Dan kali ini topik yang akan kita pelajari mengenai turunan? anda pasti telah mengenal apa itu turunan bukan?

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan  disebut diferensiasi.

• 
• 
• 
• 

•  adalah simbol untuk turunan pertama.
•  adalah simbol untuk turunan kedua.
•  adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain  dan  adalah  dan    
    


Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :
1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka 
Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui  y=C dan  
Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 
Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’
contoh :

5. 

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :
a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !
Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5
b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0  dan  kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan  f ‘ (x) > 0  atau  f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !
Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.
F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.
c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 !
Jawab :
y’=3x²-6×-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka
3x²-6×-24 = 0
(x²-2×-8)=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :
f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :
f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87